积分注意事项:

0、对于多重积分,对每一个变量采用单独积分的策略,其积分算法和一重积分算法一样,然后再求解内部函数的积分,这样相当于积分中再积分。积分效率随着积分重数增大而增大,复化数增大而增大!如果有特殊需求的多重积分,建议根据一维积分算法进行合理嵌套各种积分算法进而求解。本程序鉴于常用的积分函数一般为一重,平时可能会略出现一些二重积分，而三重或者三重积分一般十分难见,也因此本程序以提供一重积分为主,二重积分为辅助,三重或者三重以上则只简单提供一个{IntergalMultiple<矩阵运算\IntergalMultiple>}函数进行求解。对于二重以上的积分,如果积分区域有无穷的情况,建议采用一种一重积分的算法嵌套进函数,自行编写代码求解即可。

1、对于一般的一重积分, 优先推荐使用{IntegralFun1D<矩阵运算\IntegralFun1D>}，遇到精度不满足再尝试其它积分函数

2、如果使用提供的函数没有解决问题，且积分含有奇异项，在积分之前可先进行分部积分进行变换,然后再使用具体函数积分,

例子:

f="x^4/{sqrt<矩阵运算\sqrt>}(1-x^2)";//求f的变量x在[-1,1]上进行积分.其正确结果为1.17809724509617,这个函数的原函数为(3*{asin<矩阵运算\asin>}(x))/8 - (1 - x^2)^(1/2)*(x^3/4 + (3*x)/8)

2.1、常规积分结果如下

IntegralFun1D(f,-1,1)//回车
ans =
[ 1.17809690918215 ]

IntegralGauss(f,-1,1)//回车
ans =
[ 1.17315271031096 ]

IntegralRomberg(f,-1,1)//回车
ans =
[ 1.18101348997353 ]

IntegralSimpson(f,-1,1)//回车
ans =
[ 1.16551018102818 ]

IntegralCortez(f,-1,1)//回车
ans =
[ 1.15972501785618 ]

2.2、将函数分部积分变换有
//y(x)=asin(x),z(x)=4*x^3*asin(x)
//Integral(f,-1,1)=y(1)-y(-1)-Integral(z,-1,1)=pi-Integral(z,-1,1)
//也因此我们只需要计算4*x^3*asin(x)的变量x在[-1,1]上的积分即可,即

z="4*x^3*asin(x)";

y=IntegralGauss(z,-1,1)//回车
y =
[ 1.96349532599451 ]

pi-y//回车
ans =
[ 1.17809732759528 ]

IntegralRomberg(z,-1,1)//回车
ans =
[ 1.96349540849350 ]

pi-ans//回车
ans =
[ 1.17809724509629 ]//可以发现,结果比之前没有采用分部积分时要好
